Енциклопедия

Нютон и безкрайни серии -

Изчислението на Исак Нютон всъщност започва през 1665 г. с откриването му на общия двучленен ред (1 + x ) n = 1 + n x + n ( n - 1) / 2!x 2 + n ( n - 1) ( n - 2) / 3!x 3 + ⋯ за произволни рационални стойности на n . С тази формула той успя да намери безкрайни редици за много алгебрични функции (функции y на x, които удовлетворяват полиномиално уравнение p ( x , y) = 0). Например, (1 + x ) −1 = 1 - x + x 2 - x 3 + x 4 - x 5 + ⋯ и 1 / Квадратен корен от √ (1 - x 2) = (1 + (- x 2) ) −1/2 = 1 + 1/2x 2 + 1 ∙ 3/2 ∙ 4x 4+ 1 ∙ 3 ∙ 5/2 ∙ 4 ∙ 6x 6 + ⋯.

Изглед към галактиката Андромеда (Messier 31, M31). Тест Астрономия и Космос Викторина Как се нарича видимата част на Слънцето?

На свой ред това доведе Нютон до безкрайни редици за интеграли от алгебрични функции. Например, той получава логаритъм чрез интегриране на силите на X в серия за (1 + х ) -1 един по един, дневник (1 + х ) = х - х 2/ 2 + х 3/ 3 - х 4 / 4 + х 5/ 5 - х 6/ 6 + ⋯ и серия обратен задължително чрез интегриране на поредицата за 1 / корен квадратен от √ (1 - х 2), грях-1 ( х ) = х + 1/ 2х 3/ 3 + 1 ∙ 3/ 2 ∙ 4х 5/ 5 + 1 ∙ 3 ∙ 5/ 2 ∙ 4 ∙ 6х 7/ 7 + ⋯.

И накрая, Нютон увенча това виртуозно представяне, като изчисли обратната серия за x като серия по степен на y = log ( x ) и y = sin − 1 ( x ), съответно, като намери експоненциалната серия x = 1 + y / 1! + Y 2/ 2! + Y 3/ 3! + Y 4/ 4! + ⋯ и задължително серия X = Y - Y 3/ 3! + Y 5/ 5-цата! - y 7 /7! + ⋯.

Обърнете внимание, че единствената диференциация и интеграция, необходима на Нютон, е за степен на x , а реалната работа включва алгебрично изчисление с безкрайни редове. Всъщност Нютон видял смятането като алгебричен аналог на аритметиката с безкрайни десетични знаци и той написал в своя Tractatus de Methodis Serierum et Fluxionum (1671; „Трактат за метода на сериите и флуксиите“):

Учуден съм, че на никой не му е хрумнало (освен на Н. Меркатор и неговата квадратура на хиперболата) да приспособи наскоро установената доктрина за десетични числа към променливи, особено след като пътят е отворен за по-поразителни последствия. Тъй като тази доктрина при видовете има същата връзка с алгебрата, която доктрината за десетичните числа има към общата аритметика, нейните операции на събиране, изваждане, умножение, деление и извличане на корен могат лесно да бъдат научени от последните.

За Нютон подобни изчисления са олицетворение на смятането. Те могат да бъдат намерени в неговия De Methodis и в ръкописа De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas (1669; „За анализ чрез уравнения с безкраен брой термини“), които той е ужилен, след като неговата логаритмична поредица е преоткрита и публикувана от Николай Меркатор. Нютон никога не е завършил De Methodis и въпреки ентусиазма на малцината, на които е позволил да четат De Analysi , той го е спрял от публикуване до 1711 г. Това, разбира се, само го е наранило в приоритетния му спор с Готфрид Вилхелм Лайбниц.